Materiale didattico

In questa pagina sono riportati il diario delle lezioni, gli appunti manoscritti del docente per ogni lezione, e (a partire dalla lezione #3 di giovedì 17/09/2020) anche la registrazione delle lezioni.

Diario & Appunti del docente

Lezione 1 (14/09/2020, 2 ore). Informazioni relative allo svolgimento delle lezioni (in presenza e su Zoom), sulle esercitazioni, e sul tutorato. Elementi di logica deduttiva (proposizioni, congiunzione e disgiunzione, negazione, implicazione) e di insiemistica (insiemi, appartenenza, insieme vuoto, unione, intersezione, differenza insiemistica, passaggio al complementare e inclusione).


Lezione 2 (15/09/2020, 3 ore). Funzioni: definizione, test della retta verticale, grafico, immagine e pre-immagine, con esempi. Funzioni iniettive e inverse sinistre, funzioni suriettive e inverse destre, funzioni biiettive e loro invertibilità. Gli insiemi infiniti sono in biiezione con un sottoinsieme proprio, quelli non infiniti si dicono finiti. Principio dei cassetti, con un esempio. Conteggi di funzioni iniettive e permutazioni. Principio di induzione: fattoriale e altri esempi, discesa infinita. Irrisolubilità dell’equazione x^2-2=0 in \mathbb{Q} (i.e., \sqrt{2} è irrazionale).

Errata corrige: A pagina 8 della lezione 2 (15/09/2020), c’è un errore di scrittura: l’inversa sinistra g prende valori in A , non in B come indicato. La formula a centro riga, corretta, è g:f(A)\to A\,.


Lezione 3 (17/09/2020, 3 ore). Esercizi di Logica deduttiva: equivalenza (con esempi), implicazione in termini di operazioni elementari (con esempi), implicazione contronominale (con esempi), negazione di predicati con quantificatori (con esempi), esempio di tautologia. Funzioni iniettive e suriettive e test della retta orizzontale, esempi. Biiezione fra \mathbb{N} e \mathbb{Z} , biiezione fra \mathbb{N} e \mathbb{Q} (cenni). Infine, sono stati introdotti alcuni assiomi dell’insieme \mathbb{R} dei numeri reali. Da ultimo, si è definito il valore assoluto e se ne sono discusse le proprietà (inclusa la disuguaglianza triangolare).

Errata corrige. A fine pag. 20, la formula corretta è \{1\} \not\subseteq \{2\} \wedge \{2\}\not\subseteq \{1\} (cioè: al posto di \vee andava scritto \wedge ).

Lezione 4 (21/09/2020, 2 ore). Intervalli e intorni in \mathbb R . Valore assoluto: disequazioni. Insiemi (inferiormente/superiormente) limitati, massimo e minimo, maggioranti (minoranti) ed estremo superiore (inferiore). Assioma di completezza (i.e., in \mathbb R ogni insieme superiormente limitato non vuoto ammette sup).

Lezione 5 (22/09/2020, 3 ore). L’assioma di completezza implica che ogni insieme inferiormente limitato non vuoto ammette inf. N non è superiormente limitato. Proprietà Archimedea di \mathbb R . Densità di \mathbb Q in \mathbb R . Caratterizzazione del sup (e dell’inf). Esempi. La radice di 2 esiste in \mathbb R\setminus \mathbb Q . Inf,sup, min e max di funzioni, punti di min e di max globali. Funzioni monotone. Funzioni elementari: potenze di esponente intero pari e dispari, potenze di esponente frazionario.

Lezione 6 (29/09/2020, 3 ore). Potenze x^m ad esponente intero e potenze  x^\frac{1}{n} ad esponente frazionario positivo (Teorema di esistenza della radice n -esima di numeri non-negativi), potenze ad esponente intero o frazionario negativo, potenze x^\frac{m}{n} ad esponente razionale, potenze x^\alpha ad esponente reale, funzioni esponenziali a^x in base reale positiva, logaritmi e base naturale. Discussione della monotonia e delle simmetrie di queste funzioni. Numeri complessi: somma e prodotto in \mathbb C , parte reale \mathfrak{Re}(z) e parte immaginaria \mathfrak{Im}(z) , coniugio \bar z , modulo |z| e inverso 1/z di z\in \mathbb C .

Lezione 7 (05/10/2020, 2 ore). Funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse. Grafici di arcsin, arccos, arctan e rispettivi domini e insiemi immagine. Funzioni esponenziali iperboliche e loro inverse. Numeri complessi in forma algebrica, rappresentazione geometrica del coniugio e del modulo.

Lezione 8 (06/10/2020, 3 ore). Equazioni quadratiche a coefficienti reali con discriminante reale. Teorema fondamentale dell’algebra. Fattorizzazione su \mathbb C di polinomi a coefficienti complessi; fattorizzazione su \mathbb R di polinomi a coefficienti reali. Rappresentazione di numeri complessi in forma trigonometrica (con esempi). Interpretazione geometrica del prodotto di due numeri complessi (con esempi). Formule di De Moivre e calcolo di potenze intere di complessi (con esempi). Rappresentazione esponenziale dei numeri complessi (con esempi). Formule di De Moivre in forma esponenziale e calcolo di radici di numeri complessi (con esempi).

Lezione 9 (08/10/2020, 3 ore). Avviso sulla prima prova parziale: chiarimenti sulle condizioni per la partecipazione alle prove parziali e agli appelli, e richiami su tempi e modalità degli esami. Esercizi sui numeri complessi: equazioni complesse, trasposizione di numeri complessi in forma trigonometrica, calcolo di potenze e di radici di numeri complessi. Introduzione al calcolo infinitesimale: distanze in \mathbb R , filtro degli intorni di un punto, nozione di minimo e di massimo locale di una funzione reale di variabile reale.

Lezione 10 (12/10/2020, 2 ore). Topologia della retta reale estesa \mathbb R^\star = \mathbb R\cup \{+\infty\}\cup\{-\infty\} . Punti di accumulazione, punti isolati, punti interni, punti esterni, punti di frontiera. Teorema di Bolzano Weierstraß (solo enunciato).

Lezione 11 (13/10/2020, 3 ore). Relazione fra punti di frontiera e punti di accumulazione, chiusura di un insieme. L’estremo superiore è un punto di accumulazione. Ogni insieme chiuso e limitato ammette minimo e massimo (con dimostrazione). Definizione unificata di limite. Casi specifici: limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all’infinito, limite infinito all’infinito. Inesistenza del limite con oscillazioni. Esempi. Algebra dei limiti. Introduzione al metodo del confronto e al limite notevole \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1.

Lezione 12 (19/10/2020, 2 ore). Riepilogo su definizione e verifica dell’esistenza del limite e del suo valore, con esempi. Proprietà valide definitivamente per x\to x_0, cioè in un intorno forato di x_0. Convergenza a un limite finito implica limitatezza locale, convergenza implica permanenza del segno. Algebra dei limiti, riepilogo. Parziale estensione alla retta reale estesa, e forme indeterminate. Teorema del confronto (o “dei due carabinieri”). Applicazione dei teoremi al calcolo di limiti in forme intedeterminate. Cenni sulle funzioni monotone. Continuità: funzioni continue in un punto, punti di discontinuità. Continuità di somma (risp., prodotto, rapporto) di funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Esercizi (assegnati).

Lezione 13 (20/10/2020, 3 ore). Punti di accumulazione laterali, limiti laterali, teorema dei limiti di funzioni monotone. Inesistenza del limite senza oscillazioni. Applicazioni: limite di funzioni monotone al bordo del loro dominio. Applicazioni: calcolo di estremo inferiore e superiore senza la caratterizzazione. Continuità delle funzioni elementari (reprise). Continuità di funzioni definite a tratti. Limiti e continuità di funzioni composte, e applicazioni nel calcolo dei limiti. Alcuni limiti notevoli: \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}, \lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x}, \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x},  \lim_{x\to0} \frac{\arcsin x}{x}, \lim_{x\to0} \frac{1-\cos(x)}{x^2}. Gerarchia degli infiniti: |\log_a(x)|^\alpha\ll x^\beta\ll b^x per x\to+\infty ( a\in(0,1)\cup(1,+\infty) ,  b>1, \alpha\in\mathbb R, \beta>0). Applicazioni al calcolo del limite in forme inteterminate \frac{0}{0},0\cdot\infty, 0^0, \infty^0, 1^\infty .

Lezione 14 (26/10/2020, 2 ore). Gerarchia di infiniti. Teorema ponte: convergenza lungo successioni. Calcoli di limiti di forme indeterminate. Alcuni limiti notevolil.

Lezione 15 (27/10/2020, 3 ore). Limiti di alcune successioni e gerarchia fra infiniti lungo successioni. Numero di Eulero/Nepero, altri limiti notevoli. Confronto asintotico fra infiniti e fra infinitesimi, o piccoli e asintoticità. Principio di sostituzione nel calcolo di limiti. Limiti notevoli come identità asintotiche. “Algebra” degli o piccoli, esercizi.

Lezione 16 (02/11/2020, 2 ore). Stime asintotiche e proprietà quantitative locali. Calcolo di limiti di forme indeterminate con o-piccoli, per funzioni e successioni.

Lezione 17 (02/11/2020, 3 ore). Stime asintotiche e proprietà qualitative locali. Infinitesimi [resp., infiniti] rispetto a infinitesimi [risp., infinitesimi] campione e relativo ordine. Parte principale di infiniti e di infinitesimi, sviluppi asintotici di infinitesimi [risp., infiniti] nella scala delle potenze reali di (x-x_0) [risp., di 1/(x-x_0) ] per x\to x_0. Ordinamento di inifinitesimi [risp., infiniti] per ordine di infinitesimo [risp., infinito]. Asintoti. Continuità: teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi, equazioni polinomiali reali di grado dispari, teorema di Weierstrass, applicazioni.

Lezione 18 (09/11/2020, 2 ore, in compresenza con Matteo Piva). Correzione della prima prova in itinere, esercizi su limiti e o-piccoli.

Lezione 19 (10/11/2020, 3 ore). Calcolo differenziale. Migliore approssimazione lineare (affine) di una funzione. Retta tangente non verticale al grafico di una funzione. Derivabilità di una funzione in un punto. Derivabilità \Longrightarrow  continuità ma non viceversa. Funzione derivata. Derivate di funzioni elementari (costanti, affini, quadratiche, polinomiali, potenze a esponente reale positivo, esponenziali e logaritmi). Algebra delle derivate.

Lezione 20 (12/11/2020, 3 ore). Esempi di migliore approssimazione lineare, blow-up di grafici. Algebra delle derivate [continued], con dimostrazioni. Derivazione della funzione composta: formula, dimostrazione, esempi. Derivazione della funzione inversa: formula, dimostrazione, esempi (trigonometrici).

Lezione 21 (16/11/2020, 2 ore). Funzioni strettamente monotone su intervalli. Teorema di Férmat. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange. Funzioni costanti su intervalli e derivata nulla. Funzioni monotone su intervalli e segno della derivata.

Lezione 22 (17/11/2020, 3 ore). Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Applicazioni dei teoremi: criteri per la costanza di funzioni derivabili, per la monotonia di funzioni derivabili, condizioni sufficienti per la monotonia stretta. Esercizi (derivate con la definizione, con le regole di derivazione, ottimizzazione). Derivate successive. Derivate seconde e convessità: definizione di convessità, disuguaglianza di Jensen, criterio di convessità per funzioni derivabili, criterio di convessità per funzioni derivabili due volte, condizioni sufficienti alla convessità stretta. Definizione dei flessi, i punti di flesso orizzontali sono punti critici. Teorema di de l’Hôpital, corollario al Teorema di de l’Hôpital. Formula di Taylor con resto in forma di Peano.

Lezione 23 (23/11/2020, 2 ore). Derivate successive. Test Derivate seconde e punti di estremo locale. Formula di Taylor con resto in forma di Peano (con dimostrazione). Test derivate successive ed estremalità. Formula di Taylor con resto in forma di Lagrange.

Lezione 24 (24/11/2020, 3 ore). Calcolo del polinomio di MacLaurin di esponenziale, seno, coseno, seno iperbolico, coseno iperbolico, esercizi. Criterio di convergenza di Cauchy per le successioni (con dimostrazione). Serie, serie convergenti. Condizioni necessarie alla convergenza di una serie. Criterio di Cauchy per le Serie. Serie geometrica. Serie a termini positivi: o convergono o divergono a un infinito positivo. La serie armonica diverge. Criteri di convergenza per serie a termini positivi: del confronto, di condensazione, del rapporto, della radice. Criteri “asintotici” di rapporto e radice.

Lezione 25 (30/11/2020, 2 ore). Esempi vari di serie convergenti di cui si sa calcolare il limite (telescopiche, geometriche, serie armonica generalizzata dei reciproci dei quadrati dei numeri naturali). Errori più comuni nell’applicazione del criterio del rapporto e della radice. Criterio del confronto asintotico per serie a termini positivi. Serie a termini reali: criterio della convergenza assoluta, criterio di Lebnitz.

Lezione 26 (01/12/2020, 3 ore). Criterio del confronto asintotico: vari esempi di applicazione. Criterio di Leibnitz e della convergenza assoluta: applicazioni a varie serie. Serie a termini di segno variabile a cui non si applica il criterio di Leibnitz: esempi con termine generale non di segno alterno o infinitesimo ma non decrescente. Criteri di rapporto e radice, criterio del confronto asintotico, criterio di Lebnitz e della convergenza assoluta nello studio del carattere di serie dipendenti da un parametro. Alcune serie di potenze esplicite. Serie di potenze in generale, raggio di convergenza, convergenza assoluta all’interno dell’insieme di convergenza, determinazione del raggio di convergenza.

Lezione 27 (03/12/2020, 3 ore). Serie di potenze: serie geometrica, esponenziale, logaritmica, altri esempi. Raggio di convergenza. Convergenza assoluta all’interno dell’insieme di convergenza e discussione dei casi dubbi sulla frontiera. Serie di Taylor (McLaurin): definizione, funzioni sviluppabili in serie di Taylor, una funzione per cui la serie di Taylor converge a un valore diverso da quello della funzione. Integrazione secondo Riemann: definizione, interpretazione geometrica dell’integrale, calcolo di aree per grafici affini a tratti, teorema della media integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale e qualche esempio di applicazione.

Lezione asincrona 1 (04/12/2020, 1 ora). Dimostrazione elementare della formula di Eulero \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri interi positivi. Serie a termini complessi: convergenza semplice, convergenza assoluta, criterio del rapporto, della radice, del confronto asintotico. Esponenziale e serie esponenziale: e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. Il numero di Nepero/Eulero e non è razionale, con dimostrazione. Formule di Eulero per seno e coseno. Rappresentazione esponenziale dei numeri complessi.

Lezione asincrona 1 (prima parte): \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

Lezione asincrona 1 (serie complesse e formule di Eulero).

Lezione 28 (14/12/2020, 2 ore). Funzione integrale: esercizi. Derivazione di funzioni integrali. Integrazione di funzioni elementari. Primitive immediate o “quasi immediate”.

Lezione 29 (15/12/2020, 3 ore). Calcolo dell’area di regione delimitate da grafici, calcolo di primitive immediate, integrazione per parti, integrazione per sostituzione (cambiamento di variabili sotto il segno di integrale), integrazione di funzioni razionali, integrali generalizzati.

Lezione asincrona 2 (17/12/2020, 2 ore). Integrali generalizzati di funzioni illimitate su intervalli limitati (con esempi), integrali generalizzati di funzioni limitate su intervalli illimitati (con esempi). Integrali generalizzati che convergono semplicemente (per simmetria dispari) ma non assolutamente (sigmoide). Convergenza assoluta implica convergenza semplice. Criteri del confronto e del confronto asintotico, con esempi. Esempi di integrali oscillanti che convergono semplicemente ma non assolutamente.

Lezione asincrona 2 (integrali generalizzati).

Lezione 30 (21/12/2020, 2 ore). Equazioni differenziali ordinarie. Esempi: integrazione indefinita, meccanica newtoniana, interesse composto, dinamica Malthusiana. Integrale generale di un’equazione differenziale ordinaria. Problema di Cauchy. Esempi di problemi con molteplici soluzioni, e di soluzioni non eterne (con catastrofi). Teorema di Cauchy-Lipschitz. Metodi risolutivi: classificazione.

Lezione 31 (22/12/2020, 3 ore). Metodi risolutivi per equazioni del prim’ordine a variabili separabili o lineari a coefficienti continui. Metodi risolutivi per equazioni del second’ordine lineari a coefficienti costanti nel caso omogeneo: polinomio caratteristico, spazio (piano) vettoriale delle soluzioni e sua parametrizzazione con l’integrale generale nei tre casi (due radici reali distinte, una radice doppia, due complesse coniugate). Metodo di similarità per equazioni del second’ordine lineari a coefficienti costanti non omogenee: caso di lati destri polinomiali, esponenziali o oscillanti.

Video delle lezioni

Tutti le registrazioni si possono scaricare da Moodle.


Ricevimento

Si affrontano alcune questioni sullevate dagli studenti